ΕΤΕΡΟΣ ΕΓΩ ΚΑΙ ΦΙΛΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Οι φίλιοι αριθμοί είναι ζεύγη θετικών ακεραίων αριθμών,στα όποια ο καθένας από αυτούς ισούται με το άθροισμα των διαιρετών του άλλου.Οι Πυθαγόρειοι είχαν κάνει την ανακάλυψη ότι οι αριθμοί 220 και 284 είναι φίλιοι.

Αυτή η σχέση μεταξύ των αριθμών είναι ικανή για να θεωρήσουν οι Πυθαγόρειοι αυτούς τους αριθμούς ως “φίλιους”, δηλαδή ως “αγαπημένους”. 

Το ζευγάρι αυτών των αριθμών έλεγαν ότι αποτελεί σύμβολο φιλίας.Ο Μαρτίν Γκάρντνερ στο βιβλίο του mathematical Magic Show  αναφέρει ότι το Μεσαίωνα πουλιόνταν φυλακτά που είχαν χαραγμένους αυτούς τους αριθμούς και ευνοούσαν ερωτικά όποιον τα φορούσε .

Στο κλασικό βιβλίο του  Oystein Ore «Η θεωρία αριθμών και η ιστορία της» ο συγγραφέας αναφέρει:"Σε πολλά αραβικά κείμενα εμφανίζονται συχνότατα οι φίλιοι αριθμοί. Παίζουν κεντρικό ρόλο στην μαγεία και στην αστρολογία, στην σύνταξη των ωροσκοπίων , στην παρασκευή ερωτικών φίλτρων και στην κατασκευή φυλακτών."                                                                                

Υπάρχει σαφής αναφορά για το έθιμο να σκαλίζουν τον αριθμό 220 πάνω σε ένα μήλο (τυχαία επιλογή φρούτου;;) και το 284 σε έναν άλλο, να τρώνε ύστερα το πρώτο και  να προσφέρουν το δεύτερο στο αγαπημένο τους πρόσωπο ως ένα είδος μαθηματικού αφροδισιακού.     

Στο "Θεώρημα του παπαγάλου", του Ντενί Γκετζ, εκδόσεις Πόλις υπάρχει το απόσπασμα "Με την ευκαιρία, σου είπα τι με είχε «τραβήξει» στον Πυθαγόρα; Αυτός ανακάλυψε τη λέξη φιλία. Το ήξερες; Όταν τον ρώτησαν τι είναι φίλος, απάντησε: «Αυτός που είναι ο άλλος σου εαυτός, όπως το 220 και το 284». Δύο αριθμοί είναι «φίλιοι» ή «φιλικοί», αν ο καθένας ισούται με το άθροισμα όσων μετρούν (δηλαδή διαιρούν) τον άλλο. Οι πιο διάσημοι φίλιοι αριθμοί του Πυθαγόρειου Πανθέου είναι οι 220 και 284. Κάνουν ένα ταιριαστό ζευγάρι. Αν έχεις καιρό, επαλήθευσέ το. Και εμείς οι δύο, είμαστε «φίλιοι»; Τι σε μετρά, Πιέρ; Κι εμένα; Ίσως ήρθε πια ο καιρός να προσθέσουμε όλα όσα μας μέτρησαν".

Εδώ υπάρχει μια όμορφη και παράξενη σύμπτωση. Ενδιαφέρον είναι ότι ο αριθμός 284 είναι ένας πολύ γνωστός λεξάριθμος, ο λεξάριθμος της λέξης ΘΕΟΣ (9+5+70+200=284). Επίσης προσπαθώντας να ερμηνεύσουμε τον αριθμό 220 σημειώνουμε ότι το ΟΛΟΝ (70+30+70+50)= 220. Έτσι μια πιθανή λεξαριθμική σχέση μεταξύ αυτών των 2 φίλων αριθμών είναι ότι ο Θεός και το Όλον συνδέονται μεταξύ τους με “φιλία”.

Το 220 και το 284 δεν είναι οι μόνοι φίλιοι αριθμοί. 

Ο Pierre Fermat το 1636 βρήκε το ζεύγος 17.296, 18.416

Ο Renè Descartes βρήκε ένα τρίτο ζεύγος 9.363.584, 9.437.056

Ο Nicolò Paganini, το 1866 ανακάλυψε το ζεύγος 1.184, 1.210

Ο Leonhard Euler βρήκε 62 τέτοια ζεύγη φίλιων αριθμών

Δεν υπάρχει γενικός τύπος που να παράγει όλα τα ζεύγη των Φίλιων αριθμών. Παρόλα αυτά ο Άραβας Μαθηματικός Θαμπίτ Ιμπν Κούρα ανακάλυψε ένα τύπο που δίνει ζεύγη Φίλιων αριθμών. Ο τύπος αυτός αναφέρει τα ακόλουθα:

Άν Α, Β, Γ πρώτοι αριθμοί οι οποίοι συνδέονται μεταξύ τους με την ακόλουθη σχέση:

Α = 3x( 2^ ν) – 1

Β = 3x[ 2 ^ (ν +1)] – 1

Γ = (3^2)x[ 2 ^ (2ν +1)] – 1

Τότε οι αριθμοί:

Φ1 = Αx Βx [2 ^ (ν +1)]

και

Φ2 = Γx [2 ^ (ν +1)] αποτελούν ζεύγος Φίλων αριθμών

Πραγματικά για ν=1 : Α=5, Β=11, Γ=71 και Φ1=5x11x4=220 και Φ2=71x4=284

Υπάρχουν όμως και παραδείγματα φίλιων αριθμών που δεν υπακούν στον κανόνα του Θαμπίτ Ιμπν Κούρα , όπως οι αριθμοί 1184 και 1210 ή οι αριθμοί 2620 και 2924.